拓展转换期权的定价模式

现在国债期货整体的基差水平都比较宽，以T1806下的活跃券180004和170025为例，都有一块钱的基差，在2月初的时候还更高，这处于各自基差水平的高水位区域。从市场情绪层面去解释这个现象，就是从去年底开始，现货和期货的调整幅度不一致，去年11月开始到今年2月上旬，170025的收益率一直保持在3.9附近，价格变动非常小，而国债期货同期下跌了1块钱左右，这种波动是非常不对称的，也就造成了基差水平的不断走扩。这一现象给做空基差提供了潜在的空间。

然而做空基差这个潜在收益大约有多少呢？也就是说，基差的合理水平有多少呢？本文主要是想对这个问题做一些讨论并拓展。

国债期货的基差包含两部分，即carry和净基差。carry非常直观，所以上述问题也就演变成了如何对净基差的合理水平进行评价。一旦对净基差的合理水平有了评估，当大幅偏离其内在价值时，构建合理头寸，通过偏离的收敛就可以获取收益。

一种说法是净基差等价于转换期权的价值，其实净基差并非完全等价于转换期权价值。主要原因是，净基差是主观计算出来的，是市场供需形成的真实价格水平。而转换期权是理论上客观存在的，可以认为是国债期货可交割券所内含的一类“价值”，价格围绕价值波动，所以净基差可能高于转换期权价值，也可能低于转换期权价值，两者同时在期货合约到期时收敛至零。

通俗的理解，转换期权的价值是从券A交换到券B可以获得的收益，比如一开始持有A是亏20元，换成B亏10元，交换这个行为就值10元，比10元小也可以接受，但是理论定价就是10元。所以对于转换期权，就呈现以下几个特征：

1、CTD的转换期权价值最小。因为CTD没有办法再通过“交换”这个行为，获得任何收益，也就是说，如果拿着CTD，那就进入一个换无可换的地步。假设carry一致，也可以推导出基差最小。

2、在到期前CTD转换期权的价值不为零。因为是在到期前，CTD有可能成为非CTD，所以转换期权并非一文不值，还是有潜在“交换”的可能性，只是其可能性最低。

3、到期时CTD的转换期权价值一定为零。因为到期时理性的人不会为买入“交换”这个行为，付出任何的代价，持有CTD交割最划算。

4、相对应的，在到期时，非CTD的转换期权价值一定大于零。因为可以换券交割亏的更少，行为有利可图。

想象两种情形，临近到期时，CTD的价格已经逼近期货价格，券A的价格比CTD的价格稍高，券B比CTD的价格高很多，两者谁的转换期权价值高？显然应该是券B，因为券B的持有人愿意为更换成CTD付出更多的费用，从而减少更多的损失，站在这个角度看，这个费用就是对转换期权定价。所以，评价换券的潜在可能性，正是评价转换期权价值的关键所在。

1情景假设法

以上思路就是评估转换期权内在价值的基本思路，即假设各类情形后，考虑换券带来的收益水平（表现为各种情形下可交割券与CTD的价差），比如收益率曲线平移、陡峭时，CTD是否发生切换。如发生切换，被研究标的与CTD之间价差多大，将多种情形综合起来，就可以评判当下这个现券的转换价值。这种方法为是情景假设法，具体是：

1、假设多种情形下的收益率曲线的位置，以及每种可交割券的价格

2、选出上述情况中的最廉券，根据最廉券的carry和转换因子，计算期货的理论价格

3、根据每一种情形下期货的理论价格，再利用现货、转换因子和carry，计算每个现货的净基差，也就是计算非CTD与CTD之间的价差

现在利用T1806计算一下170025的转换期权价值，展示一个简单的例子。假设3*3九种情形下的收益率曲线变动，分别是上行、不变和下行，陡峭、平移和平坦，计算结果如下：

看一下上面的分布，可以发现由于170025是长久期券，整体上收益率曲线越向上，其净基差越小，即沿着表格横向移动。另外，收益率曲线越陡峭，其基差也是越小，即沿着表格纵向移动。

计算出净基差水平来也不是问题的最后一步，以上9种情况，要分别给其假设发生的概率，如果假设曲线陡峭、向上平移的概率越大，理论基差水平就越小。反之，则越大。根据假设的概率水平，分别乘以各自的净基差，就计算出来假设下的理论净基差水平，比如假设收益率曲线上升20bp和陡峭5bp的概率更大（这样假设的原因是认为期货与现货价格会收敛），占各自情形的50%，那么联合分布如下：

按照上述方式计算出来的170025的转换期权理论价值为0.9427，低于目前的1.0592。我们算出的这个理论期权价值，还是处于历史净基差的高位的。如果市场上有看170025基差收敛的观点。上面数据也可以证明，如果整个收益率水平预期50%上行20bp，同时50%的概率陡峭2.5bp的情况下，做空170025基差的理论收益为1.0592-0.9427=0.12。

方法本质上是一个模特卡罗模拟，也为我们进一步拓展这个方法提供了雏形，对于期权定价，蒙特卡洛是必然绕不开的一个弯。

2模拟法

仔细看一下，上述方法其实是非常简陋的，情形太少还不方便计算，我们就罗列一下存在的问题和针对问题的解决方案：

1、离散数据集下，情况太少，不同情况假设下计算出来的结果会大相径庭，且用分布图计算过于繁琐。针对以上问题，用python写一个针对不同期货合约下净基差定价函数。拓展情景假设，采用随机冲击的方法，假设利率可以在一定时间内形成一个变动冲击，随着模拟次数的增加，当前假设下的转换期权价值会不断的计算出来。